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# 第十五章 轴

![轴](https://oss.muzing.top/image/domm_shafts.jpg)

## 15-1 概述

### 轴的用途及分类

**轴的主要功用**：支承回转零件、传递运动和动力

按**承受载荷**不同分类：

* 转轴：工作中既承受弯矩又承受扭矩
* 心轴：只承受弯矩
* 传动轴：只承受扭矩，不承受弯矩（或弯矩很小）

按**轴线形状**不同分类：

* 曲轴：曲轴连杆可以实现旋转运动与往复运动之间的相互变换
* 直轴
  * 光轴：形状简单，加工容易，应力集中源少；常用于心轴和传动轴
  * 阶梯轴：轴上零件容易装配及定位；常用于转轴

按**是否实心**分类：

* 实心轴：一般
* 空心轴：减小轴的质量；特殊要求而在轴中装设其他零件；特别重大作用的场合；内外径比一般 0.5 \~ 0.6
* 钢丝软轴（钢丝挠性轴）：具有良好的挠性，可以把回转运动灵活地传到不开敞的空间位置

### 轴设计的主要内容

* 结构设计
  * 结构形式
  * 尺寸
* 工作能力计算
  * 强度：多数情况下只需对轴进行强度计算
  * 刚度：对刚度要求高的轴和受力大的细长轴，应进行刚度计算
  * 振动稳定性：对于高速运转的轴，应进行振动稳定性计算

### 轴的材料

碳钢、合金钢

最常用 45 钢

合金钢使用场景：传递大动力，并要求减小尺寸与质量，提高轴颈的耐磨性，以及处于高温或低温条件下工作的轴

在一般工作温度下（低于 200 °C），各种碳钢和合金钢的弹性模量均相差不多，因此在选择钢的种类和决定钢的热处理方法时，所根据的是强度与耐磨性，而非轴的弯曲或扭转刚度

各种热处理（如高频淬火、渗碳、氮化、氰化等）、表面强化处理（如喷丸、滚压等）对提高轴的抗疲劳强度都有着显著的效果

## 15-2 轴的结构设计

轴的结构设计：轴的合理外形 + 全部结构尺寸

轴的结构**影响因素**：

1. 轴在机器中的安装位置及形式
2. 轴上安装的零件的类型、尺寸、数量以及和轴连接的方法
3. 载荷的性质、大小、方向及分布情况
4. 轴的加工工艺

轴结构**设计要求**：

* 轴和装在轴上的零件要有准确的工作位置
* 轴上的零件应便于装拆和调整
* 轴应具有良好的制造工艺性

### 拟订轴上零件的装配方案

预订出轴上主要零件的装配方向、顺序和相互关系

一般应考虑几个方案，进行分析比较与选择

### 轴上零件的定位

![轴上零件装配与轴的结构示例](https://oss.muzing.top/image/domm_%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E9%9B%B6%E4%BB%B6%E8%A3%85%E9%85%8D%E4%B8%8E%E8%BD%B4%E7%9A%84%E7%BB%93%E6%9E%84%E7%A4%BA%E4%BE%8B_01.jpg)

#### 轴向定位

* 轴肩
  * 定位轴肩、非定位轴肩（为加工和装配方便）
  * 缺点：使轴的直径加大，且轴肩处将因截面突变而引起应力集中，轴肩过多时也不利于加工
  * 多用于轴向力较大的场合
  * 轴肩处的过渡圆角半径 $$r$$ 必须小于与之相配的零件毂孔端部的圆角半径 $$R$$ 或倒角尺寸 $$C$$
  * 定位轴肩高度：一般$$(2 \sim 3)C$$ 或 $$(2 \sim 3)R$$
  * 非定位轴肩：一般 1 \~ 2 mm，无严格规定
* 轴环
  * 宽度 $$b \geq 1.4h$$
* 套筒
  * 结构简单，定位可靠，轴上不需开槽、钻孔和切制螺纹，因而不影响轴的疲劳强度
  * 不宜使用的场合：两零件间距较大；轴的转速很高
* 轴端挡圈
  * 用于固定轴端零件，可以承受较大的轴向力
* 轴承端盖
  * 用螺钉或榫槽与箱体连接而使滚动轴承的外圈得到轴向定位
  * 一般整个轴的轴向定位也常利用轴承端盖来实现
* 圆螺母
  * 可承受较大的轴向力
  * 轴上螺纹处有较大的应力集中，会降低轴的疲劳强度
  * 一般用于固定轴端的零件；或轴上两零件间距离较大不宜使用套筒定位的情况
  * 形式：双圆螺母；圆螺母+止动垫圈
* 弹性挡圈、紧定螺钉、锁紧挡圈
  * 只适用于零件上轴向力不大的地方
  * 后两者常用于光轴上零件的定位
* 圆锥面定位
  * 承受冲击载荷，同心度要求较高的轴端零件

#### 周向定位

键、花键、销、紧定螺钉、过盈配合等

### 各轴段直径和长度的确定

可按轴所受的扭矩初步估算轴所需要的直径，将其作为承受扭矩的轴段的最小直径 $$d\_\min$$

有配合要求的轴段，应尽量采用标准直径。安装标准件（如滚动轴承、联轴器、密封圈等）部位的轴径，应取为相应的标准值及所选配合的公差

有配合要求的轴段：为了使齿轮、轴承等有配合要求

过盈配合的轴段：为了使与轴做过盈配合的零件易于装配，相配合轴段的压入端应制出锥度；或在同一轴段的两个部位上采用不同的尺寸公差

确定各轴段长度原则：应尽可能使结构紧凑，同时还保证零件所需的装配或调整空间

与齿轮和联轴器等零件相配合部分的轴段长度一般应比轮毂长度短 2 \~ 3 mm

### 提高轴的强度的常用措施

1. 合理布置轴上零件以减小轴的载荷
   * 传动件尽量靠近轴承，尽可能不采用悬臂支承，力求缩短支承跨距及悬臂长度等
   * 转矩有一个传动件输入，几个传动件输出时，应将输入件放在中间
2. 改进轴上零件的结构以减小轴的载荷
3. 改进轴的结构以减小应力集中的影响
   * 应对轴与轮毂过盈配合导致配合边缘处有较大应力集中：减载槽、加大配合部分的直径
4. 改进轴的表面质量以提高轴的疲劳强度

### 轴的结构工艺性

轴的结构工艺性：轴的结构形式应便于加工和装配轴上的零件，并且生产率高，成本低。一般轴的结构越简单，工艺性越好

* 便于装配零件、去掉毛刺：45° 倒角
* 需要磨削加工的轴段：砂轮越程槽
* 需要切制螺纹的轴段：退刀槽
* 同一轴上不同轴段的键槽：应布置（或投影）在轴的同一母线上
* 轴上直径相近处的圆角、倒角、键槽宽度、砂轮越程槽宽度、退刀槽宽度等，应尽可能采用相同的尺寸

## 15-3 轴的计算

轴的计算通常是在初步完成结构设计后进行校核计算，计算准则是满足轴的强度或刚度要求，必要时还应校核轴的振动稳定性

### 轴的强度校核计算

| 轴类型（特点）               | 校核方式        |
| --------------------- | ----------- |
| 传动轴                   | 扭转强度条件      |
| 心轴                    | 弯曲强度条件      |
| 转轴                    | 弯扭合成强度条件    |
| （需要时）                 | 按疲劳强度进行精确校核 |
| 瞬时过载很大或应力循环不对称性较为严重的轴 | 按峰值载荷校核其静强度 |

#### 按扭转强度条件计算

常用于初步估算轴径

$$
\tau\_T = \frac{T}{W\_T} \approx \frac{9550000 \frac{P}{n}}{0.2 d^3} \leq \[\tau\_T]
$$

| 字母符号           | 含义        | 单位    |
| -------------- | --------- | ----- |
| $$\tau\_T$$    | 扭转切应力     | MPa   |
| $$T$$          | 轴所受的扭矩    | N⋅mm  |
| $$W\_T$$       | 轴的抗扭截面系数  | mm³   |
| $$n$$          | 轴的转速      | r/min |
| $$P$$          | 轴传递的功率    | kW    |
| $$d$$          | 计算截面处轴的直径 | mm    |
| $$\[\tau\_T]$$ | 许用扭转切应力   | MPa   |

设计式：

$$
d \geq \sqrt\[3]{\frac{9550000P}{0.2 \[\tau\_T]n}} = \sqrt\[3]{\frac{9550000}{0.2\[\tau\_T]}} \sqrt\[3]{\frac{P}{n}} = A\_0 \sqrt\[3]{\frac{P}{n}}
$$

式中，$$A\_0 = \sqrt\[3]{\frac{9550000}{0.2\[\tau\_T]}}$$ ，查表

对于空心轴，则

$$
d \geq A\_0 \sqrt\[3]{\frac{P}{n(1 - \beta^4)}}
$$

式中，$$\beta = \frac{d\_1}{d}$$，即空心轴的内径与外径之比，通常取$$\beta = 0.5 \sim 0.6$$

**有键槽时的修正**：

增大后将轴径圆整成标准直径；注意这样求出的直径只能作为承受扭矩作用的轴段的最小直径 $$d\_{\min}$$

* 直径 $$d > 100$$ mm
  * 一个键槽：轴径增大 3%
  * 两个键槽：轴径增大 7%
* 直径 $$d \leq 100$$ mm
  * 一个键槽：轴径增大 5% \~ 7%
  * 两个键槽：轴径增大 10% \~ 15%

#### 按弯扭合成强度条件计算

1. 做出轴的计算简图（即力学模型）
2. 作出弯矩图
3. 作出扭矩图
4. 校核轴的强度

#### 按疲劳强度条件进行精确校核

确定变应力情况下轴的安全程度

在已知轴的外形、尺寸、载荷的基础上，即可通过分析确定出一个或几个危险截面，求出计算安全系数 $$S\_{ca}$$ 并应使其稍大于设计安全系数 $$\[S]$$（参考第三章）：

$$
S\_{ca} = \frac{S\_\sigma S\_\tau}{\sqrt{S\_\sigma^2 + s\_\tau^2}} \geq S
$$

仅有法向应力时，应满足

$$
S\_\sigma = \frac{\sigma\_{-1}}{K\_\sigma \sigma\_a + \varphi\_\sigma \sigma\_m} \geq S
$$

仅有扭转切应力时，应满足

$$
S\_\tau = \frac{\tau\_{-1}}{K\_\tau \tau\_a + \varphi\_\tau \tau\_m} \geq S
$$

| $$S$$      | 场景                                   |
| ---------- | ------------------------------------ |
| 1.3 \~ 1.5 | 材料均匀，载荷与应力计算精确                       |
| 1.5 \~ 1.8 | 材料不够均匀，计算精确度较低时                      |
| 1.8 \~ 2.5 | 材料均匀性及计算精确度很低，或轴的直径 $$d > 200$$ mm 时 |

#### 按静强度条件进行校核

评定轴对塑形变形的抵抗能力。对于那些瞬时过载很大，或应力循环的不对称性较为严重的轴是很有必要的

$$
S\_{S\_{ca}} = \frac{S\_{S\_\sigma}S\_{S\_\tau}}{\sqrt{S\_{S\_\sigma}^2 + S\_{S\_r}^2}} \geq S\_S
$$

| 字母符号               | 含义                    |
| ------------------ | --------------------- |
| $$S\_{S\_{ca}}$$   | 危险界面静强度的计算安全系数        |
| $$S\_{S\_\sigma}$$ | 只考虑弯矩和轴向力时的安全系数，见下方解析 |
| $$S\_{S \tau}$$    | 只考虑扭矩时的安全系数，见下方解析     |
| $$S\_S$$           | 按屈服强度的设计安全系数，见下方解析    |

$$
S\_{S\_\sigma} = \frac{\sigma\_S}{\frac{M\_{\max}}{W} + \frac{F\_{a \max}}{A}}
$$

$$
S\_{S\_\tau} = \frac{\tau\_S}{\frac{T\_\max}{W\_T}}
$$

| 字母符号            | 含义                                                | 单位                |
| --------------- | ------------------------------------------------- | ----------------- |
| $$\sigma\_S$$   | 材料的抗弯屈服极限                                         | MPa               |
| $$\tau\_S$$     | 材料的抗扭屈服极限，$$\tau\_S = (0.55 \sim 0.62)\sigma\_S$$ | MPa               |
| $$M\_\max$$     | 轴的危险截面上所受的最大弯矩                                    | N·mm              |
| $$T\_\max$$     | 轴的危险截面上所受的最大扭矩                                    | N·mm              |
| $$F\_{a \max}$$ | 轴的危险截面上所受的最大轴向力                                   | N                 |
| $$A$$           | 轴的危险截面的面积                                         | $$\mathrm{mm^2}$$ |

TODO

### 轴的刚度校核计算

#### 弯曲刚度校核计算

对于光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角

对于阶梯轴，计算精度要求不高时，可用**当量直径法**做近似计算

**当量直径** $$d\_v$$：

$$
d\_v = \sqrt\[4]{\frac{L}{\sum\limits\_{i=1}^{z} \frac{l\_i}{d\_i^4}}}
$$

| 字母符号     | 含义              |
| -------- | --------------- |
| $$l\_i$$ | 阶梯轴第 $$i$$ 段的长度 |
| $$d\_i$$ | 阶梯轴第 $$i$$ 段的直径 |
| $$L$$    | 阶梯轴的计算长度        |
| $$z$$    | 阶梯轴计算长度内的轴段数    |

式中所有单位均为 mm

| 情况          | 计算长度                          |
| ----------- | ----------------------------- |
| 载荷作用于两支承之间时 | $$L = l$$ （$$l$$ 为支承跨距）       |
| 当载荷作用于悬臂端时  | $$L = l + K$$ （$$K$$ 为轴的悬臂长度） |

**轴的弯曲刚度条件**：

| 类型  | 条件                        | 符号含义                      | 单位  |
| --- | ------------------------- | ------------------------- | --- |
| 挠度  | $$y \leq \[y]$$           | $$\[y]$$ ——轴的许用挠度，查表      | mm  |
| 偏转角 | $$\theta \leq \[\theta]$$ | $$\[\theta]$$——轴的许用偏转角，查表 | rad |

#### 扭转刚度校核计算

轴的扭转变形用每米长的扭转角 $$\varphi$$ 来表示

圆轴扭转角 $$\varphi$$ 计算式：

光轴：

$$
\varphi = 5.73 \times 10^4 \frac{T}{G I\_p}
$$

阶梯轴：

$$
\varphi = 5.73 \times 10^4 \frac{1}{LG} \sum\limits\_{i=1}^{z} \frac{T\_i l\_i}{I\_{pi}}
$$

| 字母符号        | 含义                 | 单位          | 备注                                 |
| ----------- | ------------------ | ----------- | ---------------------------------- |
| $$T$$       | 轴所受的扭矩             | N · mm      |                                    |
| $$G$$       | 轴的材料的剪切弹性模量        | MPa         | 对于钢材，$$G = 8.1 \times 10^4$$ MPa   |
| $$I\_p$$    | 轴截面的极惯性矩           | $$m{mm^4}$$ | 对于圆轴，$$I\_p = \frac{\pi d^4}{32}$$ |
| $$L$$       | 阶梯轴受扭矩作用的长度        | mm          |                                    |
| $$T\_i$$    | 阶梯轴第 $$i$$ 段上所受的扭矩 | N · mm      |                                    |
| $$l\_i$$    | 阶梯轴第 $$i$$ 段的长度    | mm          |                                    |
| $$I\_{pi}$$ | 阶梯轴第 $$i$$ 段的极惯性矩  | $$m{mm^4}$$ |                                    |
| $$z$$       | 阶梯轴受扭矩作用的轴段数       |             |                                    |

**轴的扭转刚度条件**：

$$
\varphi \leq \[\varphi]
$$

式中，$$\[\varphi]$$ 为轴每米长允许的扭转角，与轴的使用场合有关：

| 传动轴使用场合  | $$\[\varphi]$$   |
| -------- | ---------------- |
| 一般传动轴    | 0.5 \~ 1 （°）/m   |
| 精密传动轴    | 0.25 \~ 0.5（°）/m |
| 精度要求不高的轴 | 允许大于 1 （°）/m     |

### 轴的振动及振动稳定性的概念

* 弯曲振动（横向振动）
* 扭转振动
* 纵向振动

**临界转速**：轴在引起共振时的转速

**临界角速度**$$\omega\_c$$： 等于其自振角频率

$$
\omega\_c = \sqrt{\frac{k}{m}}
$$

| 轴类型 | 判断标准                 | 工作转速要求                              |
| --- | -------------------- | ----------------------------------- |
| 刚性轴 | 工作转速低于一阶临界转速，工作于亚临界区 | $$n < 0.85 n\_{c1}$$                |
| 挠性轴 | 工作转速超过一阶临界转速，工作于超临界区 | $$1.15 n\_{c1} < n < 0.85 n\_{c2}$$ |