第十五章 轴

轴

15-1 概述

轴的用途及分类

轴的主要功用：支承回转零件、传递运动和动力

按承受载荷不同分类：

• 转轴：工作中既承受弯矩又承受扭矩

• 心轴：只承受弯矩

• 传动轴：只承受扭矩，不承受弯矩（或弯矩很小）

按轴线形状不同分类：

• 曲轴：曲轴连杆可以实现旋转运动与往复运动之间的相互变换

• 直轴

  • 光轴：形状简单，加工容易，应力集中源少；常用于心轴和传动轴

  • 阶梯轴：轴上零件容易装配及定位；常用于转轴

按是否实心分类：

• 实心轴：一般

• 空心轴：减小轴的质量；特殊要求而在轴中装设其他零件；特别重大作用的场合；内外径比一般 0.5 ~ 0.6

• 钢丝软轴（钢丝挠性轴）：具有良好的挠性，可以把回转运动灵活地传到不开敞的空间位置

轴设计的主要内容

• 结构设计

  • 结构形式

  • 尺寸

• 工作能力计算

  • 强度：多数情况下只需对轴进行强度计算

  • 刚度：对刚度要求高的轴和受力大的细长轴，应进行刚度计算

  • 振动稳定性：对于高速运转的轴，应进行振动稳定性计算

轴的材料

碳钢、合金钢

最常用 45 钢

合金钢使用场景：传递大动力，并要求减小尺寸与质量，提高轴颈的耐磨性，以及处于高温或低温条件下工作的轴

在一般工作温度下（低于 200 °C），各种碳钢和合金钢的弹性模量均相差不多，因此在选择钢的种类和决定钢的热处理方法时，所根据的是强度与耐磨性，而非轴的弯曲或扭转刚度

各种热处理（如高频淬火、渗碳、氮化、氰化等）、表面强化处理（如喷丸、滚压等）对提高轴的抗疲劳强度都有着显著的效果

15-2 轴的结构设计

轴的结构设计：轴的合理外形 + 全部结构尺寸

轴的结构影响因素：

1. 轴在机器中的安装位置及形式

2. 轴上安装的零件的类型、尺寸、数量以及和轴连接的方法

3. 载荷的性质、大小、方向及分布情况

4. 轴的加工工艺

轴结构设计要求：

• 轴和装在轴上的零件要有准确的工作位置

• 轴上的零件应便于装拆和调整

• 轴应具有良好的制造工艺性

拟订轴上零件的装配方案

预订出轴上主要零件的装配方向、顺序和相互关系

一般应考虑几个方案，进行分析比较与选择

轴上零件的定位

轴上零件装配与轴的结构示例

轴向定位

• 轴肩

  • 定位轴肩、非定位轴肩（为加工和装配方便）

  • 缺点：使轴的直径加大，且轴肩处将因截面突变而引起应力集中，轴肩过多时也不利于加工

  • 多用于轴向力较大的场合

  • 轴肩处的过渡圆角半径 $r$ 必须小于与之相配的零件毂孔端部的圆角半径 $R$ 或倒角尺寸 $C$
  • 定位轴肩高度：一般$(2 \sim 3)C$ 或 $(2 \sim 3)R$
  • 非定位轴肩：一般 1 ~ 2 mm，无严格规定

• 轴环

  • 宽度 $b \geq 1.4h$
• 套筒

  • 结构简单，定位可靠，轴上不需开槽、钻孔和切制螺纹，因而不影响轴的疲劳强度

  • 不宜使用的场合：两零件间距较大；轴的转速很高

• 轴端挡圈

  • 用于固定轴端零件，可以承受较大的轴向力

• 轴承端盖

  • 用螺钉或榫槽与箱体连接而使滚动轴承的外圈得到轴向定位

  • 一般整个轴的轴向定位也常利用轴承端盖来实现

• 圆螺母

  • 可承受较大的轴向力

  • 轴上螺纹处有较大的应力集中，会降低轴的疲劳强度

  • 一般用于固定轴端的零件；或轴上两零件间距离较大不宜使用套筒定位的情况

  • 形式：双圆螺母；圆螺母+止动垫圈

• 弹性挡圈、紧定螺钉、锁紧挡圈

  • 只适用于零件上轴向力不大的地方

  • 后两者常用于光轴上零件的定位

• 圆锥面定位

  • 承受冲击载荷，同心度要求较高的轴端零件

周向定位

键、花键、销、紧定螺钉、过盈配合等

各轴段直径和长度的确定

可按轴所受的扭矩初步估算轴所需要的直径，将其作为承受扭矩的轴段的最小直径 d_\min

有配合要求的轴段，应尽量采用标准直径。安装标准件（如滚动轴承、联轴器、密封圈等）部位的轴径，应取为相应的标准值及所选配合的公差

有配合要求的轴段：为了使齿轮、轴承等有配合要求

过盈配合的轴段：为了使与轴做过盈配合的零件易于装配，相配合轴段的压入端应制出锥度；或在同一轴段的两个部位上采用不同的尺寸公差

确定各轴段长度原则：应尽可能使结构紧凑，同时还保证零件所需的装配或调整空间

与齿轮和联轴器等零件相配合部分的轴段长度一般应比轮毂长度短 2 ~ 3 mm

提高轴的强度的常用措施

1. 合理布置轴上零件以减小轴的载荷

   • 传动件尽量靠近轴承，尽可能不采用悬臂支承，力求缩短支承跨距及悬臂长度等

   • 转矩有一个传动件输入，几个传动件输出时，应将输入件放在中间

2. 改进轴上零件的结构以减小轴的载荷

3. 改进轴的结构以减小应力集中的影响

   • 应对轴与轮毂过盈配合导致配合边缘处有较大应力集中：减载槽、加大配合部分的直径

4. 改进轴的表面质量以提高轴的疲劳强度

轴的结构工艺性

轴的结构工艺性：轴的结构形式应便于加工和装配轴上的零件，并且生产率高，成本低。一般轴的结构越简单，工艺性越好

• 便于装配零件、去掉毛刺：45° 倒角

• 需要磨削加工的轴段：砂轮越程槽

• 需要切制螺纹的轴段：退刀槽

• 同一轴上不同轴段的键槽：应布置（或投影）在轴的同一母线上

• 轴上直径相近处的圆角、倒角、键槽宽度、砂轮越程槽宽度、退刀槽宽度等，应尽可能采用相同的尺寸

15-3 轴的计算

轴的计算通常是在初步完成结构设计后进行校核计算，计算准则是满足轴的强度或刚度要求，必要时还应校核轴的振动稳定性

轴的强度校核计算

轴类型（特点）	校核方式
传动轴	扭转强度条件
心轴	弯曲强度条件
转轴	弯扭合成强度条件
（需要时）	按疲劳强度进行精确校核
瞬时过载很大或应力循环不对称性较为严重的轴	按峰值载荷校核其静强度

按扭转强度条件计算

常用于初步估算轴径

$$\tau_T = \frac{T}{W_T} \approx \frac{9550000 \frac{P}{n}}{0.2 d^3} \leq [\tau_T]$$

字母符号	含义	单位
$\tau_T$	扭转切应力	MPa
$T$	轴所受的扭矩	N⋅mm
$W_T$	轴的抗扭截面系数	mm³
$n$	轴的转速	r/min
$P$	轴传递的功率	kW
$d$	计算截面处轴的直径	mm
$[\tau_T]$	许用扭转切应力	MPa

设计式：

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{9550000P}{0.2 [\tau_T]n}} = \sqrt[3]{\frac{9550000}{0.2[\tau_T]}} \sqrt[3]{\frac{P}{n}} = A_0 \sqrt[3]{\frac{P}{n}}$$

式中，$A_0 = \sqrt[3]{\frac{9550000}{0.2[\tau_T]}}$ ，查表

对于空心轴，则

$$d \geq A_0 \sqrt[3]{\frac{P}{n(1 - \beta^4)}}$$

式中，$\beta = \frac{d_1}{d}$，即空心轴的内径与外径之比，通常取$\beta = 0.5 \sim 0.6$

有键槽时的修正：

增大后将轴径圆整成标准直径；注意这样求出的直径只能作为承受扭矩作用的轴段的最小直径 $d_{\min}$

• 直径 $d > 100$ mm

  • 一个键槽：轴径增大 3%

  • 两个键槽：轴径增大 7%

• 直径 $d \leq 100$ mm

  • 一个键槽：轴径增大 5% ~ 7%

  • 两个键槽：轴径增大 10% ~ 15%

按弯扭合成强度条件计算

1. 做出轴的计算简图（即力学模型）

2. 作出弯矩图

3. 作出扭矩图

4. 校核轴的强度

按疲劳强度条件进行精确校核

确定变应力情况下轴的安全程度

在已知轴的外形、尺寸、载荷的基础上，即可通过分析确定出一个或几个危险截面，求出计算安全系数 $S_{ca}$ 并应使其稍大于设计安全系数 $[S]$（参考第三章）：

$$S_{ca} = \frac{S_\sigma S_\tau}{\sqrt{S_\sigma^2 + s_\tau^2}} \geq S$$

仅有法向应力时，应满足

$$S_\sigma = \frac{\sigma_{-1}}{K_\sigma \sigma_a + \varphi_\sigma \sigma_m} \geq S$$

仅有扭转切应力时，应满足

$$S_\tau = \frac{\tau_{-1}}{K_\tau \tau_a + \varphi_\tau \tau_m} \geq S$$

$S$	场景
1.3 ~ 1.5	材料均匀，载荷与应力计算精确
1.5 ~ 1.8	材料不够均匀，计算精确度较低时
1.8 ~ 2.5	材料均匀性及计算精确度很低，或轴的直径 $d > 200$ mm 时

按静强度条件进行校核

评定轴对塑形变形的抵抗能力。对于那些瞬时过载很大，或应力循环的不对称性较为严重的轴是很有必要的

$$S_{S_{ca}} = \frac{S_{S_\sigma}S_{S_\tau}}{\sqrt{S_{S_\sigma}^2 + S_{S_r}^2}} \geq S_S$$

字母符号	含义
$S_{S_{ca}}$	危险界面静强度的计算安全系数
$S_{S_\sigma}$	只考虑弯矩和轴向力时的安全系数，见下方解析
$S_{S \tau}$	只考虑扭矩时的安全系数，见下方解析
$S_S$	按屈服强度的设计安全系数，见下方解析

$$S_{S_\sigma} = \frac{\sigma_S}{\frac{M_{\max}}{W} + \frac{F_{a \max}}{A}}$$

S_{S_\tau} = \frac{\tau_S}{\frac{T_\max}{W_T}}

字母符号	含义	单位
$\sigma_S$	材料的抗弯屈服极限	MPa
$\tau_S$	材料的抗扭屈服极限，$\tau_S = (0.55 \sim 0.62)\sigma_S$	MPa
	轴的危险截面上所受的最大弯矩	N·mm
	轴的危险截面上所受的最大扭矩	N·mm
$F_{a \max}$	轴的危险截面上所受的最大轴向力	N
$A$	轴的危险截面的面积	$\mathrm{mm^2}$

TODO

轴的刚度校核计算

弯曲刚度校核计算

对于光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角

对于阶梯轴，计算精度要求不高时，可用当量直径法做近似计算

当量直径 $d_v$：

$$d_v = \sqrt[4]{\frac{L}{\sum\limits_{i=1}^{z} \frac{l_i}{d_i^4}}}$$

字母符号	含义
$l_i$	阶梯轴第 $i$ 段的长度
$d_i$	阶梯轴第 $i$ 段的直径
$L$	阶梯轴的计算长度
$z$	阶梯轴计算长度内的轴段数

式中所有单位均为 mm

情况	计算长度
载荷作用于两支承之间时	$L = l$ （$l$ 为支承跨距）
当载荷作用于悬臂端时	$L = l + K$ （$K$ 为轴的悬臂长度）

轴的弯曲刚度条件：

类型	条件	符号含义	单位
挠度	$y \leq [y]$	$[y]$ ——轴的许用挠度，查表	mm
偏转角	$\theta \leq [\theta]$	$[\theta]$——轴的许用偏转角，查表	rad

扭转刚度校核计算

轴的扭转变形用每米长的扭转角 $\varphi$ 来表示

圆轴扭转角 $\varphi$ 计算式：

光轴：

$$\varphi = 5.73 \times 10^4 \frac{T}{G I_p}$$

阶梯轴：

$$\varphi = 5.73 \times 10^4 \frac{1}{LG} \sum\limits_{i=1}^{z} \frac{T_i l_i}{I_{pi}}$$

字母符号	含义	单位	备注
$T$	轴所受的扭矩	N · mm
$G$	轴的材料的剪切弹性模量	MPa	对于钢材，$G = 8.1 \times 10^4$ MPa
$I_p$	轴截面的极惯性矩	$m{mm^4}$	对于圆轴，$I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
$L$	阶梯轴受扭矩作用的长度	mm
$T_i$	阶梯轴第 $i$ 段上所受的扭矩	N · mm
$l_i$	阶梯轴第 $i$ 段的长度	mm
$I_{pi}$	阶梯轴第 $i$ 段的极惯性矩	$m{mm^4}$
$z$	阶梯轴受扭矩作用的轴段数

轴的扭转刚度条件：

$$\varphi \leq [\varphi]$$

式中，$[\varphi]$ 为轴每米长允许的扭转角，与轴的使用场合有关：

传动轴使用场合	$[\varphi]$
一般传动轴	0.5 ~ 1 （°）/m
精密传动轴	0.25 ~ 0.5（°）/m
精度要求不高的轴	允许大于 1 （°）/m

轴的振动及振动稳定性的概念

• 弯曲振动（横向振动）

• 扭转振动

• 纵向振动

临界转速：轴在引起共振时的转速

临界角速度$\omega_c$： 等于其自振角频率

$$\omega_c = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

轴类型	判断标准	工作转速要求
刚性轴	工作转速低于一阶临界转速，工作于亚临界区	$n < 0.85 n_{c1}$
挠性轴	工作转速超过一阶临界转速，工作于超临界区	$1.15 n_{c1} < n < 0.85 n_{c2}$